理想气体互扩散模型

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理想气体互扩散模型

来源 : 哔哩哔哩时间：2023-05-07 14:08:04

前言：本文内容以理想气体为基础，通过模拟和一些概率论知识推导出一个较为理想的气体扩散的模型。

一、这个模型的基本假设

(相关资料图)

在一个足够大的、没有外力场的、等温的空间中有一团处在平衡态的理想气体，分析自扩散，等价于分析单个粒子的位移的概率密度函数。为了分析这个问题，我们有一些基本假设，他们是基于理想气体的结论。

粒子自由程的概率：

粒子平均自由程,其中为分子平均碰撞频率

二、对位移大小的概率密度函数进行推导

我对这个模型进行模拟：假设一个分子每一个自由程的方向任意（虽然相邻自由程的方向很可能是有关系的，但是由于碰撞次数很多，我们可以将每一次的方向视为任意），我们计一个自由程的方向向量为，它的末端在一个单位球上。如果单拿出x来看，它是在[-1,1]上均匀地随机分布的（只需要把球面展开为一个刚好能容纳球的圆柱的侧面，就会注意到这一点）。这样，我们就可以随机生成了。之后，我们可以根据自由程的分布生成一个自由程长度d，将位移增加,重复若干次得到总位移。如上是生成一个位移的操作，我们将其进行足够多次，再加以统计手段就可以近似地得到位移的分布图像。实现此过程的程序在文末出现。

经过一些处理，我们得到了一个分布图像，描述的是100个自由程（平均自由程=1），250000次模拟后得到的位移大小的分布图像。

这个图像极其地像麦克斯韦分布，我们不妨就认为概率密度函数。（作者暂时还给不出证明，希望以后能证明然后回来补上）

由于归一化条件，有:

（1）

另外，我们可以通过一些已知条件求出:

其中N是自由程数。倒数第三个等号成立是因为i和j的随机性导致所有之和可以看作0（相对于而言）

由自由程分布函数，可知：

所以，于是我们又可以得到一个与概率密度函数有关的式子：

= (2)

(1)(2)联立求解，得到：

代入得

其中（不直接带入是因为它有些复杂，而且代换的方法很多，之后再说）

我们把他带入刚刚得到的数据的背景（其实这没什么用了，因为程序是完全符合基本假设的，我们这么做只是验证一下式子是否正确），得到,

两组数据对比：

可以看到拟合得很好,推导是正确的。

现在回到正题，研究K的代换方式。

，其中是分子平均碰撞频率，

根据扩散公式,其中D是扩散系数（其实扩散系数就等于)，

所以粒子位移大小的概率密度函数：

其中

三、根据公式得到的推论

根据这个公式，稍加处理我们可以得到一些推论：

粒子最概然位移大小（对r求偏导等于0）：

粒子方均根位移（位移大小的平方平均值）：

粒子平均位移大小：

粒子位移的概率密度：

在这个式子中对t求偏导=0解得：t=，这是一个位置（到粒子初始位置举例为r）上粒子出现概率达到最大所需的时间

如果在一团足够大的理想气体之中某处释放一些粒子，并保证压力梯度足够小，我们可以通过这个式子计算出距离释放点为r处的浓度-时间图像，他大概长这样：

另外这个模型有一定的局限性：对于一般的互扩散，扩散粒子的平均速度和平均碰撞频率可能会随时间改变，可能会产生一些误差。

四、琐碎的内容

先把之前的程序粘上

其中pandas是一个可以将数据导出到excel的库，需要安装，此程序后会在程序的地址附件生成一个含有数据的excel文件，名为excel1.xlsx

另外，程序只是辅助手段，基于这个模型的位移大小的概率密度函数应该是可以用数学来证明的，我们需要证明水平方向位移的分布是高斯分布，这一点作者暂时还没有思路，有兴趣的话可以当作一个数学题来做：

初始时，x=0，进行若干次如下操作：取a为在[-1,1]上的随机数，b为在(0,1]上的随机数，使x增加a*lnb,求若干次操作后x的概率密度函数

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